高等数学-常微分方程

一阶微分方程的种类与解法

种类	通解公式或解法
可分离变量的微分方程 $\frac{dy}{dx}=f(x,y)$,其中$f(x,y)=\varPhi_1(x)\varPhi_2(y)$	解法： $\frac{dy}{dx}=f(x,y)\implies\frac{dy}{dx}=\varPhi_1(x)\varPhi_2(y)$ $\implies\frac{dy}{\varPhi_2(y)}=\varPhi_1(x)dx$ $\implies\int\frac{dy}{\varPhi_2(y)}=\int\varPhi_1(x)dx+C$
齐次微分方程 $\frac{dy}{dx}=f(x,y)$，其中$f(x,y)=\varPhi(\frac{y}{x})$	解法： $\frac{dy}{dx}=f(x,y)\implies\frac{dy}{dx}=\varPhi(\frac{y}{x})$ $\xRightarrow{\frac{y}{x}=u} u+x\frac{du}{dx}=\varPhi(u)$ $\implies \int \frac{du}{\varPhi(u)-u}=\int \frac{dx}{x}+C$
一阶齐次线性微分方程 $\frac{dy}{dx}+P(x)y=0$	通解公式： $y = Ce^{-\int P(x)dx}$(其中C为任意常数)
一阶非齐次线性微分方程 $\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$	通解公式： $y=[\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C]e^{-\int P(x)dx}$(其中C为任意常数)

种类	解法
$y^{(n)}=f(x)$	$y^{(n)}=f(x)$进行n次不定积分
$f(x,y’,y’’)=0$	令$y’=p,y’’=\frac{dp}{dx},f(x,y’,y’’)=0$化为$f(x,p,\frac{dp}{dx})=0$
$f(y,y’,y’’)=0$	$y’=p,y’’=\frac{dy}{dx}\cdot\frac{dp}{dy}=p\frac{dp}{dy},f(y,y’,y’’)=0$化为$f(y,p,p\frac{dp}{dy})=0$

n阶齐次线性微分方程
形如

$y^{n}+a_1y^{n-1}+...+a_{n-1}y'+a_n(x)y=0 \tag{1}$

n阶非齐次线性微分方程
形如

$y^{n}+a_1y^{n-1}+...+a_{n-1}y'+a_n(x)y=f(x) \tag{2}$

若$f(x)=f_1(x)+f_2(x)$,则(2)可分解为如下两个方程：

$y^{n}+a_1y^{n-1}+...+a_{n-1}y'+a_n(x)y=f_1(x) \tag{2.1}$ $y^{n}+a_1y^{n-1}+...+a_{n-1}y'+a_n(x)y=f_2(x) \tag{2.2}$

设$\varPhi_1(x),\varPhi_2(x),…,\varPhi_s(x)$为(1)的一组解，则$k_1\varPhi_1(x)+k_2\varPhi_2(x)+…+k_s\varPhi_s(x)$也为方程(1)的解
若$\varPhi_1(x),\varPhi_2(x)$分别为(1)、(2)的两个解，则$\varPhi_1(x)+\varPhi_2(x)$为(2)的一个解
若$\varPhi_1(x),\varPhi_2(x)$为(2)的两个解，则$\varPhi_1(x)-\varPhi_2(x)$为(1)的解
若$\varPhi_1(x),\varPhi_2(x)$分别为(2.1)及(2.2)的两个解，则$\varPhi_1(x)+\varPhi_2(x)$为(2)的解
若$\varPhi_1(x),\varPhi_2(x),…,\varPhi_s(x)$为(2)的一组解，则$k_1\varPhi_1(x)+k_2\varPhi_2(x)+…+k_s\varPhi_s(x)$为(2)的解的充分必要条件是$k_1+k_2+…+k_s=1$
若$\varPhi_1(x),\varPhi_2(x),…,\varPhi_s(x)$为(2)的一组解，则$k_1\varPhi_1(x)+k_2\varPhi_2(x)+…+k_s\varPhi_s(x)$为(1)的解的充分必要条件是$k_1+k_2+…+k_s=0$
设$\varPhi_1(x),\varPhi_2(x),…,\varPhi_n(x)$为(1)的n个线性无关解，则$k_1\varPhi_1(x)+k_2\varPhi_2(x)+…+k_n\varPhi_n(x)$为(1)的通解
若$\varPhi_1(x),\varPhi_2(x),…,\varPhi_n(x)$为(1)的n个线性无关解，$\varPhi_0(x)$为(2)的一个特解，则$k_1\varPhi_1(x)+k_2\varPhi_2(x)+…+k_n\varPhi_n(x)+\varPhi_0(x)$为(2)的通解

方程形式	$y’’+py’+qy=0$(其中p，q为常数)
特征方程	$\lambda^2+p\lambda+q=0$
$\Delta=p^2-4q$的情况	$y’’+py’+qy=0$的通解
$\Delta>0$	$y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2^{\lambda_2x}$($C_1,C_2$为任意常数)
$\Delta=0$	$y=(C_1+C_2x)e^{\lambda_1x}$($C_1,C_2$为任意常数)
$\Delta<0$	$\lambda_1=\alpha+i\beta,\lambda_2=\alpha-i\beta$ $y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$

对$y’’’+py’’+qy’+ry=0$(其中p，q，r为常数)，特征方程为

$\lambda^3+p\lambda^2+q\lambda+r=0$

(1) 若特征值$\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$为实单根，则通解为$y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2^{\lambda_2x}+C_3e^{\lambda_3x}$

(2) 若特征值$\lambda_1=\lambda_2\not=\lambda_3$为实根，则通解为$y=(C_1+C_2x)e^{\lambda_1x}+C_3e^{\lambda_3x}$

(3) 若特征值$\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3$为实根，则通解为$y=(C_1+C_2x+C_3x^2)e^{\lambda_1x}$

(4) 若$\lambda_{1,2}=\alpha\pm i\beta,\lambda_3\in R$，则通解为$y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x))+C_3e^{\lambda_3x}$

类型一：$f(x)=e^{kx}P_n(x)$，其中$P_n(x)$为n次多项式

(1) 当$k\not ={\lambda_1}$且$k\not ={\lambda_2}$时，令特解$y_0(x)=(a_0+a_1x+…+a_nx^n)e^{kx}=Q(x)e^{kx}$

(2) 当$k={\lambda_1}$且$k\not ={\lambda_2}$时，令特解$y_0(x)=x(a_0+a_1x+…+a_nx^n)e^{kx}=xQ(x)e^{kx}$

(3) 当$k={\lambda_1}={\lambda_2}$时，令特解$y_0(x)=x^2(a_0+a_1x+…+a_nx^n)e^{kx}=x^2Q(x)e^{kx}$

类型二：$f(x)=e^{\alpha x}[P_m(x)cos\beta x+P_s(x)sin\beta x]$，其中$P_m,P_s(x)$分别为m及s次多项式

(1) 当$\alpha+i\beta$不是特征值时，令$y_0=e^{\alpha x}[Q_n^{(1)}(x)cos\beta x+Q_n^{2}(x)sin\beta x$，其中n=max{m,s}，且$Q_n^{1}(x),Q_n^{2}(x)$为两个n次多项式

(2) 当$\alpha+i\beta$是特征值时，令$y_0=xe^{\alpha x}[Q_n^{(1)}(x)cos\beta x+Q_n^{2}(x)sin\beta x$，其中n=max{m,s}，且$Q_n^{1}(x),Q_n^{2}(x)$为两个n次多项式