高等数学-二重积分

二重积分的概念

$\iint_Df(x,y)d\sigma=\lim\limits_{\lambda\rightarrow0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i$

二重积分$\iint_Df(x,y)d\sigma$是一个数。当$f(x,y)\ge0$时，其值等于以积分域D为底，以曲面$z=f(x,y)$为曲顶的曲顶柱体的体积

若在D上$f(x,y)\le g(x,y)$，则$\iint_Df(x,y)d\sigma\le\iint_Dg(x,y)d\sigma$
若$f(x,y)$在D上连续，则$mS\le\iint_Df(x,y)d\sigma\le MS$，其中m和M分别为$f(x,y)$在D上的最小值和最大值，S为积分域D的面积
$|\iint_Df(x,y)d\sigma|\le\iint_D|f(x,y)|d\sigma$

若$f(x,y)$在D上连续，则$\iint_Df(x,y)d\sigma=f(\xi,\eta)S$，其中$(\xi,\eta)\in D,S$为积分域D的面积

先y后x
若积分域D是X型区域，即积分域D可以用不等式$y_1(x)\le y\le y_2(x),a\le x\le b$来表示，则

$\iint_Df(x,y)d\sigma=\int_a^bdx\int_{y_1(x)}^{y_2(x)}f(x,y)dy$

先x后y
若积分域D是Y型区域，即积分域D可以用不等式$x_1(y)\le x\le x_2(y),c\le y\le d$来表示，则

$\iint_Df(x,y)d\sigma=\int_c^ddy\int_{x_1(y)}^{x_2(y)}f(x,y)dx$

先r后$\theta$
若积分域D可以用不等式$r_1(\theta)\le r\le r_2(\theta),\alpha\le\theta\le\beta$，来表示，则

$\iint_Df(x,y)d\sigma=\int_\alpha^\beta d\theta\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdr$

(1) 若积分域D关于y轴对称，f(x,y)关于x有奇偶性，则：

$\iint_Df(x,y)d\sigma=\begin{cases} 2\iint_{D_{x\ge0}}f(x,y)d\sigma,&f(-x,y)=f(x,y) \\ 0,&f(-x,y)=-f(x,y) \end{cases}$

(1) 若积分域D关于x轴对称，f(x,y)关于y有奇偶性，则：

$\iint_Df(x,y)d\sigma=\begin{cases} 2\iint_{D_{y\ge0}}f(x,y)d\sigma,&f(x,-y)=f(x,y) \\ 0,&f(x,-y)=-f(x,y) \end{cases}$

二重积分$\iint_Df(x,y)d\sigma$的积分域D是点(x,y)的集合，记为$D_{(x,y)}$，类似一元定积分的值与积分变量用什么记号无关，则

$\iint_{D_{(x,y)}}f(x,y)d\sigma=\iint_{D_{(y,x)}}f(y,x)d\sigma$

即把二重积分的被积函数f(x,y)及积分域$D_{(x,y)}$中的x和y对调，积分值不变