特征值与特征向量
特征值与特征向量的理论背景
在一个多项式中，未知数的个数为任意多个，且每一项次数都是2的多项式称为二次型，二次型分为两种类型：即非标准二次型及标准二次型。
特征值与特征向量的概念与性质
设 A 为 n 阶矩阵，若存在常数$\lambda$及 n 为非零列向量$\alpha$，使得$A\alpha=\lambda\alpha$称$\lambda$为矩阵 A 的特征值，$\alpha$为矩阵 A 的属性特征值$\lambda$的特征向量
特征方程
设$A=\begin{bmatrix}
a_{11} &a_{12} &\dotsb &a_{1n} \\
a_{21} &a_{22} &\dotsb &a_{2n} \\
\vdots &\vdots & &\vdots \\
a_{n1} &a_{n2} &\dotsb &a_{nn}
\end{bmatrix}$称$|\lambda E-A|=0$为矩阵 A 的特征方程
求特征值与特征向量
方法一：$\begin{cases}
解方程 |\lambda E-A|=0，的特征值\lambda \\
解方程组 (\lambda E-A)\alpha=0，的特征向量\alpha
\end{cases}$
方法二：利用定义$A\alpha=\lambda\alpha(a\ne0)$
特征值的性质
设 A 为 n 阶矩阵，$\lambda_1,\lambda_2,\dotsb,\lambda_n$ 为 A 的特征值，则有
(1) $\lambda_1+\lambda_2+\dotsb+\lambda_n=\sum_{i=1}^na_{ii}=tr(A)$，称$tr(A)=\sum_{i=1}^na_{ii}$为A的迹
(2) $\lambda_1\lambda_2\dotsb\lambda_n=|A|$
A 可逆$\Leftrightarrow|A|\ne0\Leftrightarrow\lambda_i\ne0(i\le i\le n)$
特征向量的性质
- A的不同特征值对应的特征向量时线性无关的
- 设A的n阶矩阵，$\lambda_k$为A的k重特征值$k\ge1$，则属于$\lambda_k$的线性无关的特征向量个数不超过k个
- 设A为n阶矩阵，$A\alpha_1=\lambda_1\alpha_1,A\alpha_2=\lambda_2\alpha_2,\lambda_1\ne\lambda_2$，其中，$\alpha_1\ne0,\alpha_2\ne0$，则$\alpha_1+\alpha_2$不是A的特征向量
特征向量不能是零向量
矩阵相似
矩阵A相似于对角形
A相似于对角矩阵的条件
设A为n阶矩阵：
(1) 充分条件：A有n个不同的特征值$\Rightarrow A\sim\Lambda$
(2) 充要条件：$A\sim\Lambda\Leftrightarrow A$有n个线性无关的特征向量
(3) 充要条件：$A\sim\Lambda\Leftrightarrow A$的k重特征值对应k个线性无关的特征向量
相似的定义
设A,B为n阶矩阵，若存在可逆矩阵P,使得$P^{-1}AP=B$,称矩阵A与矩阵B相似，记为A~B.若存在可逆矩阵P,使得$P^{-1}AP=A$,其中$\Lambda$为对角矩阵，则称A可以相似对角化
相似对角化的步骤
对于$A_{n\times n}$，求可逆矩阵P，使得$P^{-1}AP=A$的步骤：
(1) 由$|\lambda E-A|=0$，求A的特征值$\lambda_1,\lambda_2,\dotsb,\lambda_n$
(2) 对每个$\lambda$，由$(\lambda E-A)x=0$，求基础解系，这些基础解系构成了A的一组特征向量
(3) 令$P=(\alpha_1,\alpha_2,\dotsb,\alpha_n)$，当p可逆时，有
称矩阵A可相似对角化，或A可以对角化，或A与对角矩阵相似
特征值与特征向量的常用结论
| 矩阵 | $A$ | $A^n$ | $A+KE$ | $f(A)$ | $A^{-1}$ | $A^*$ | $P^{-1}AP$ | $A^T$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 特征值 | $\lambda$ | $\lambda^n$ | $\lambda+k$ | $f(\lambda)$ | $\frac{1}{\lambda}$ | $\frac{\lvert A\rvert}{\lambda}$ | $\lambda$ | $\lambda$ |
| 特征向量 | $\alpha$ | $\alpha$ | $\alpha$ | $\alpha$ | $\alpha$ | $\alpha$ | $P^{-1}\alpha$ | / |
相似矩阵的性质
- 设A、B均为n阶矩阵，若$A\sim B$，则：
- $A^T\sim B^T$
- $A^n\sim B^n$
- $f(A)\sim f(B)$，其中f为多项式
- 当A、B可逆时，$A^{-1}\sim B^{-1},A^\sim B^$
- $r(A)=r(B)$
- $A\sim B\overset{\Rightarrow}{\nLeftarrow}|\lambda E-A|=|\lambda E-B|$
实对称矩阵
实对称定义
设A是n阶矩阵，若$A^T=A$，则称A为实对称矩阵
实对称矩阵的对角化
- 实对称矩阵必相似于对角矩阵
- 实对称矩阵可用正交矩阵对角化
- 实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交
- 实对称矩阵的特征值必为实数
实对称矩阵用正交矩阵对角化的步骤
- 设A为n阶实对称矩阵，求A的特征值
- 求A的特征向量
- 若A的特征值都是单重特征值，则只需单位化。若A的特征值中存在多重特征值，则先对重特征值对应的特征向量进行施密特正交化，再单位化
- 由正交单位化后的向量构成正交矩阵Q，则$Q^{-1}AQ=A$
施密特正交化
把一组线性无关的向量组转化为一组两两正交且规范的向量组的过程称为施密特正交化
设$a_1,a_2,\dotsb,a_s$线性相关，施密特正交互过程分为两个步骤：
(1)正交化
令$\beta_1=\alpha_1,\beta_2=\alpha_2-\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1,\dotsb,\\\beta_n=\alpha_n-\frac{(\alpha_n\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1-\frac{(\alpha_n\beta_2)}{(\beta_2,\beta_2)}\beta_2-\dotsb-\frac{(\alpha_n\beta_{n-1})}{(\beta_{n-1},\beta_{n-1})}\beta_{n-1}$,
则$\beta_1,\beta_2,\dotsb,\beta_n$两两正交
(2)规范化
令$\gamma_1=\frac{1}{|\beta_1|}\beta_1,\gamma_2=\frac{1}{|\beta_2|}\beta_2,\dotsb,\gamma_b=\frac{1}{|\beta_b|}\beta_b$，则$\gamma_1,\gamma_2,\dotsb,\gamma_n$为两两正交且规范的向量组
确定参数
确定参数的常见情形
确定参数有以下常见情形：
(1) 设$A=(a_{ij})_{m\times n},B=(b_{ij})_{m\times n},A\sim B\Rightarrow\begin{cases}
|A|=|B| \\
\sum_{i=1}^na_{ii}=\sum_{i=1}^nb_{ii}
\end{cases}$
(2) 已知$\lambda_0$是A的一个特征值$\Rightarrow|\lambda_0 -A|=0$
(3) 已知$\alpha_0$是A的一个特征向量$\Rightarrow A\alpha_0=\lambda\alpha_0$（解方程组）
(4) 对n阶矩阵A,$r(A)<n\Rightarrow|A|=0$(常用方法)
(5) $\lambda E-A|=|\lambda E-B|$，且A,B均为实对称矩阵，则$A\sim B$