函数
反函数
同一直角坐标系中，$y=f(x)$和$x=f^{-1}(y)$的图形重合，$y=f(x)$和$y=f^{-1}(x)$的图形关于直线$y=x$对称
$f^{-1}(f(x))=x,f(f^{-1}(x))=x$
函数的性态
单调性
定义 设函数 $y=f(x)$ 在某区间I上有定义，如果对于区间I上的任意两点 $x_1,x_2$ ，当 $x_1 < x_2$ 时，恒有 $f(x_1) < f(x_2)$ (或 $f(x_1) > f(x_2)$ )，则称函数 $y=f(x)$ 在区间I上单调增加(或单调减少)
如果对于区间I上的任意两点 $x_1,x_2$ ，当 $x_1<x_2$ 时，恒有 $f(x_1)\le f(x_2)$ (或 $f(x_1)\ge f(x_2)$ )，则称函数$y=f(x)$在区间I上单调不减(或单调不增)
判定
- 利用定义
- 利用导数
设f(x)在区间I上可导，则
(1)$f’(x)>0(<0)\Leftarrow f(x)$单调增(单调减)
(2) $f’(x)\ge0(\le0)\Leftrightarrow f(x)$单调不减（单调不整）
奇偶性
定义 设函数$y=f(x)$的定义域D关于原点对称(即若$x\in D$，则有$-x\in D$)，如果对于任一$-x\in D$，恒有$f(-x)=f(x)$，则称f(x)为D上的偶函数；如果恒有$f(-x)=-f(x)$，则称f(x)为D上的奇函数
判定
- 利用定义
- 设f(x)可导，则
(1) f(x)是奇函数$\Rightarrow f’(x)$是偶函数
(2) f(x)是偶函数$\Rightarrow f’(x)$是奇函数 - 连续的奇函数其原函数都是偶函数
- 连续的偶函数其原函数中有唯一一个是奇函数
注：
(1) 若f(x)是奇函数，则$\int_0^xf(t)dt$是偶函数
(2) 若f(x)是偶函数，则$\int_0^xf(t)dt$是奇函数
周期性
定义 若存在实数T>0,对于任意x,恒有$f(x+T)=f(x)$,则称y=f(x)为周期函数，使得上述关系式成立的最小正数T称为f(x)的最小正周期，简称为函数f(x)的周期
判定
- 利用定义
- 可导的周期函数及其导函数为周期函数
- 周期函数的原函数不一定是周期函数（如$1+cosx$)
注：
(1) 设f(x)连续且以T为周期，则$F(x)=\int_0^xf(t)dt$是以T为周期的周期函数$\Leftrightarrow\int_0^Tf(x)dx=0$
(2) 周期函数的原函数是周期函数的充要条件是其在一个周期上的积分为零
有界性
定义 若$\exists M>0,\forall x\in I,|f(x)|\le M$，则称f(x)在I上有界
判定
- 利用定义
- f(x)在[a,b]上连续$\Rightarrow f(x)$在[a,b]上有界
- f(x)在(a,b)上连续，且$f(a^+)$和$f(b^-)$存在$\Rightarrow f(x)$在(a,b)上有界；
- $f’(x)$在区间I（有限）上有界$\Rightarrow f(x)$在I上有界
极限
极限的概念
数列极限
$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=a:\forall\varepsilon>0,\exists N(\varepsilon)>0.$当n > N时，有$|x_n-a|<\varepsilon$
极限的性质
局部有界性
若极限$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)$存在，则f(x)在点$x_0$某去心邻域内有界
保号性(重点)
设$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=A$，则
(1) 若$A>0(orA<0)$，则$\exists \delta>0$，当$x\in\mathring{U}(x_0,\delta)$时，$f(x)>0(orf(x)<0)$(不能改为$\ge or \le$，例$\lim\limits_{x\rightarrow0}x="0$)" (2) 若$\exists\delta>0$，当$x\in\mathring{U}(x_0,\delta)$时，$f(x)\ge0(orf(x)\le0)\Rightarrow A\ge0(orA\le0)$(不能改为$>or<$，例$\frac{1}{n}>0$)
注：由保号性不难得到保序性：设$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=A,\lim\limits_{x\rightarrow x_0}g(x)=B$，则
(1) 若$A>B\Rightarrow\exists\delta>0$,当$x\in\mathring{U}(x_0,\delta)$时，$f(x)>g(x)$(同样不能改)
(2) 若$\exists\delta>0$，当$x\in\mathring{U}(x_0,\delta)$时，$f(x)\ge g(x)\Rightarrow A\ge B$(同样不能改)
极限值与无穷小之间的关系
$\lim f(x)=A\Leftrightarrow f(x)=A+\alpha(x)$，其中$\lim\alpha(x)=0$
极限存在准则
夹逼准则
若存在N,当$n>N$时，$x_n\le y_n\le z_n$,且$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}y_n=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}z_n=a$，则$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=a$
单调有界准则
单调有界数列必有极限。即单调增、由上界的数列必有极限，单调减、有下界的数列必有极限
极限存在
- 若$\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=A,\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)不\exists$，则$\lim\limits_{x\rightarrow a}(f(x)+g(x))不\exists$，当$A\ne0$时，又有$\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)g(x)不\exists$;当A=0时，$\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)g(x)可能\exists$，也可能不$\exists$
- 若$\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x),\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)均不\exists$，则$\lim\limits_{x\rightarrow a}(f(x)+g(x)),\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)g(x)可能\exists$，也可能不$\exists$
无穷小
无穷小的比较
设$\lim\alpha(x)=0,\lim\beta(x)=0$
(1) 高阶：若$\lim\frac{\beta(x)}{\alpha(x)}=0$，记为$\beta(x)=o(\alpha(x))$
(2) 同阶：若$\lim\frac{\beta(x)}{\alpha(x)}=C\ne0$
(3) 等价：若$\lim\frac{\beta(x)}{\alpha(x)}=1$，记为$\alpha(x)\sim\beta(x)$
(4) 无穷小的阶：若$\lim\frac{\beta(x)}{[\alpha(x)]^k}=C\ne0$，称$\beta(x)$是$\alpha(x)$的k阶无穷小
无穷小的性质
- 有限个无穷小的和仍是无穷小
- 有限个无穷小的积仍是无穷小
- 无穷小量与有界量的积仍是无穷小
无穷大
常用的一些无穷大的比较
- 当$x\rightarrow+\infty$时，$\ln^\alpha x\ll x^\beta\ll a^x$(其中$\alpha>0,\beta>0,a>1$)
- 当$n\rightarrow\infty$时，$\ln^\alpha n\ll n^\beta\ll a^n\ll n!\ll n^n$(其中$\alpha>0,\beta>0,a>1$)
无穷大与无界变量的关系 无穷大$\Rightarrow$ 无界变量
数列${x_n}$是无穷大量：$\forall M>0,\exists N$，当$n>N$时，恒有$|x_n|>M$
数列${x_n}$是无界变量：$\forall M>0,\exists N$,使$|x_N|>M$
无穷大量一定是无界变量，但无界变量不一定是无穷大量(例：$f(x)=\begin{cases}
n ,n为奇数 \\
0 ,n为偶数 \\
\end{cases}$)
无穷大量与无穷小量的关系
在自变量的同一变化过程中，若$f(x)$是无穷大，则$\frac{1}{f(x)}$是无穷小；若$f(x)$是无穷小，且$f(x)\ne0$，则$\frac{1}{f(x)}$是无穷大
求极限的方法
利用有理运算法则求极限
若$\lim f(x)=A,\lim g(x)=B$，则
$\lim[f(x)\pm g(x)]=\lim f(x)\pm\lim g(x)=A\pm B$;
$\lim[f(x)\cdot g(x)]=\lim f(x)\cdot\lim g(x)=A\cdot B;\lim\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}=\frac{A}{B}(B\ne0)$
推论：
- 若$\lim f(x)=A\ne0$，则$\lim f(x)g(x)=A\lim g(x);\lim\frac{g(x)}{f(x)}=\frac{1}{A}\lim g(x)$
- 若$\lim\frac{f(x)}{g(x)}$存在，且$\lim g(x)=0$，则$\lim f(x)=0$
- 若$\lim\frac{f(x)}{g(x)}=A\ne0$，且$\lim f(x)=0$，则$\lim g(x)=0$
注：
若$\lim f(x)$存在，$\lim g(x)$不存在，则$\lim[f(x)\pm g(x)]$一定不存在
若$\lim f(x)$和$\lim g(x)$都不存在，则$\lim[f(x)\pm g(x)]$不一定存在
利用基本极限求极限
常用的基本极限
$\sin x<x<\tan x,x\in(0,\frac{\pi}{2})$
$\frac{x}{1+x}<\ln(1+x)<x,x\in(0,+\infty)$
$\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x}=1;\lim\limits_{x\rightarrow0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e;\lim\limits_{x\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$
$\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a(a>0);\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{n}=1$
利用等价无穷小代换求极限
常用等价无穷小
当 $x\rightarrow0$ 时
(1) $x\sim\sin x\sim\tan x\sim\arcsin x\sim\arctan x\sim\ln(1+x)\sim e^x-1,(1+x)^a-1\sim ax,1-\cos x\sim\frac{1}{2}x^2$，$a^x-1\sim x\ln a,1-\cos^\alpha x\sim\frac{\alpha}{2}x^2$
(2) $x-\sin x\sim\frac{x^3}{6},\arcsin x-x\sim\frac{x^3}{6},x-\ln(1+x)\sim\frac{x^2}{2},\tan x-x\sim\frac{x^3}{3},x-\arctan x\sim\frac{x^3}{3}$，若$\alpha(x)\rightarrow0,\alpha(x)\beta(x)\rightarrow0$，则$(1+\alpha(x))^{\beta(x)}-1\sim\alpha(x)\beta(x)、\ln(x+\sqrt{1+x^2})\sim x$
(3) 设f(x)和g(x)在x=0的某邻域内连续，且$\lim\limits\frac{f(x)}{g(x)}=1$，则$\int_0^xf(t)dt\sim\int_0^xg(t)dt$
等价无穷小代换的原则
1）乘、除关系可以换
若$\alpha\sim\alpha_1,\beta\sim\beta_1$，则$\lim\limits\frac{\alpha}{\beta}=\lim\limits\frac{\alpha_1}{\beta}=\lim\limits\frac{\alpha}{\beta_1}=\lim\limits\frac{\alpha_1}{\beta_1}$
2）加、减关系在一定条件下可以换
(1) 若$\alpha\sim\alpha_1,\beta\sim\beta_1$，且$\lim\limits\frac{\alpha_1}{\beta_1}=A\ne1$，则$\alpha-\beta\sim\alpha_1-\beta_1$
(2) 若$\alpha\sim\alpha_1,\beta\sim\beta_1$，且$\lim\limits\frac{\alpha_1}{\beta_1}=A\ne-1$，则$\alpha+\beta\sim\alpha_1+\beta_1$
利用洛必达法则求极限
若
(1) $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}g(x)=0(\infty)$;
(2) f(x)和g(x)在$x_0$的某去心邻域内可导，且$g’(x)\ne0$
(3) $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{f’(x)}{g’(x)}$存在(或$\infty$)
则$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{f’(x)}{g’(x)}$
利用泰勒公式求极限
设$f(x)$在$x=x_0$处n阶可导，则
当$x_0=0$时
常用的泰勒公式
(1) $e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\dotsb+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)$
(2) $\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\dotsb+(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+o(x^{2n-1})$
(3) $\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\dotsb+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n})$
(4) $\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\dotsb+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n)$
(5) $(1+x)^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}x^2+\dotsb+\frac{a(a-1\dotsb(a-n+1))}{n!}x^n+o(x^n)$
利用夹逼准则求极限
利用定积分的定义求极限
利用单调有界准则求极限
函数极限的题型
$\frac{0}{0}$ 型极限
(1) 洛必达法则
(2) 等价无穷小代换
(3) 泰勒公式
$\frac{\infty}{\infty}$ 型
(1) 洛必达法则
(2) 分子分母同除以分子和分母各项中最高阶的无穷大
$\infty-\infty$ 型极限
(1) 通分化为$\frac{0}{0}$(适用于分式差)
(2) 根式有理化
(3) 提无穷因子，然后等价代换或变量代换、泰勒公式
$1^\infty$ 型极限
(1) 凑基本极限 $\lim[1+f(x)]^{\frac{1}{f(x)}}=e$，其中$\lim f(x)=0(f(x)\ne0)$
(2) 改写成指数 $\lim[f(x)]^{g(x)}=\lim e^{g(x)\ln f(x)}$，用洛必达法则
(3) 利用结论：若$\lim\alpha(x)=0,\lim\beta(x)=\infty,$且$\lim\alpha(x)\beta(x)=A$，则$\lim[1+\alpha(x)]^{\beta(x)}=e^A$
无穷小量的比较
结论：若$f(x)$在$x=0$的某邻域内连续，且当$x\rightarrow0$时$f(x)$是$x$的$m$阶无穷小，$\varphi(x)$是$x$的$n$阶无穷小，则当$x\rightarrow0$时$F(x)=\int_0^{\varphi(x)}f(t)dt$是$x$的$n(m+1)$阶无穷小
连续
连续的概念
若$f(x)$在$x_0$某去心邻域有定义，但在$x_0$处不连续，则称点$x=x_0$为函数$f(x)$的间断点
间断点及其类型
(1) 第一类间断点：左、右极限均存在的间断点
可去间断点：左、右极限存在且相等的间断点
跳跃间断点：左、右极限都存在但不相等的间断点
(2) 第二类间断点：左、右极限中至少有一个不存在的间断点
无穷间断点：左、右极限中至少有一个为无穷，如$x=0$为$f(x)=\frac{1}{x}$的无穷间断点
震荡间断点：如$x=0$为$f(x)=\sin\frac{1}{x}$的震荡间断点
连续函数的性质
- 连续函数的和、差、积(分母不为零)仍复合连续
- 基本初等函数在定义域内连续；初等函数在其定义区间内连续
- 闭区间上连续函数的性质
- 有界性：若$f(x)$在$[a,b]$上连续，则$f(x)$在$[a,b]$上有界
- 最值性：若$f(x)$在$[a,b]$上连续，则$f(x)$在$[a,b]$上必有最大值和最小值
- 若$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$f(x)\ne f(b)$，则对$f(a)$与$f(b)$之间任一数C，至少存在一个$\xi\in(a,b)$,使得$f(\xi)=C$
推论：若$f(x)$在$[a,b]$上连续，则$f(x)$在$[a,b]$可取到介于最小值m与最大值M之间的任何值
- 零点定理：若$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$f(a)\cdot f(b)<0$，则必存在$\xi\in(a,b)$，使$f(\xi)=0$
关于f(x)在(a,b)上有原函数F(x)，要注意以下几点：在(a,b)上
- f(x)不一定连续 例：$F(x)=\begin{cases}x^2\sin\frac{1}{x} &x\ne0 \\0 &x=0\end{cases}$
- f(x)在$x_0$处为可去间断点，原函数$F(x)$在$x_0$处可导
- f(x)在$x_0$处为跳跃间断点，则原函数F(x)在$x_0$处不可导
- f(x)不一定是初等函数$\int e^{-x^2}dx$
- F(x)不一定是初等函数
f(x)在[a,b]连续，$f(x)\ge0$，且$f(x)\not\equiv0$，则$\int_a^bf(x)dx>0$
判定$f(x)$在区间上有界
- 利用定理，若$f(x)$在闭区间[a,b]上连续，则$f(x)$在[a,b]上有界
- 若$f(x)$在开区间(a,b)内连续，且$\lim\limits_{x\rightarrow a^+}f(x),\lim\limits_{x\rightarrow b^-}f(x)$都存在，则$f(x)$在(a,b)内有界，(a,b)为无穷区间也成立
- 若$f’(x)$在有限区间(a,b)内有界，则$f(x)$在(a,b)内有界