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二次型的概念及其标准形

基本概念

二次型的标准形

二次型只含平方项，即$f(x_1,x_2,\dotsb,x_n)=d_1x_1^2+d_2x_2^2+\dotsb+d_nx_n^2$，称为二次型的标准形

二次型的标准化

二次型可通过坐标变换$x=Cy$(C可逆)化为标准型
$x^TAx\xlongequal{x=Cy}(Cy)^T(Cy)=y^TC^TACy=y^T\Lambda y=d_1y_1^2+d_2y_2^2+\dotsb+d_ny_n^2$，其中$\Lambda=C^TAC$
由于A是实对称矩阵，故存在正交变换$x=Qy$(Q为正交矩阵)将$x^TAx$标准化，即$x^TAx\xlongequal{x=Qy}y^TQ^TAQy=y^TQ^{-1}AQy=y^T\Lambda y=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\dotsb+\lambda_ny_n^2$，其中$\Lambda=Q^TAQ=Q^{-1}AQ,\lambda_1,\lambda_2,\dotsb,\lambda_n$为A的特征值

(1) 由于二次型的矩阵是实对称矩阵，且唯一，故二次型与实对称矩阵A一一对应
(2) 标准型的矩阵是对角矩阵
(3) 二次型化为标准形实质上就是将矩阵A化为对角矩阵，由于A是实对称矩阵，故一定可以用正交矩阵将其化为对角矩阵，即二次型总可以利用正交变换化为标准形

惯性指数

在标准形中，正平方项的个数称为正惯性指数，记为p；负平方项的个数称为负惯性指数，记为q。

惯性定理

二次型经过可逆坐标变换后，正、负惯性指数保持不变，且$p+q=r(f)=r(A)$

二次型的规范形

若n元二次型$x^TAx$经过坐标交换$x=Cy$化为标准形
$x^TAx\xlongequal{Cy}d_1y_1^2+\dotsb+d_py_p^2-d_{p+1}y_{p+1}^2-\dotsb-d_{p+q}y_{p+q}^2$，其中$d_i>0(i=1,2,\dotsb,p+q)$。再用坐标变换

则二次型化为$z_1^2+\dotsb+z_p^2-z_{p+1}^2-\dotsb-z_{p+q}^2$，称为规范形，二次型的规范形是唯一的，但标准形不唯一（与坐标变换有关）

矩阵合同

若A,B为n阶实对称矩阵，存在可逆矩阵C，使得$C^TAC=B$，则称A与B合同。
若A,B为n阶实对称矩阵，则A与B合同$\Leftrightarrow p_A=p_n,q_A=q_n$

坐标变换

形如$\begin{cases}
x_1=c_{11}y_1+c_{12}y_2+c_{13}y_3,\\
x_2=c_{21}y_1+c_{22}y_2+c_{23}y_3,\\
x_3=c_{31}y_1+c_{32}y_2+c_{33}y_3
\end{cases}$，称为坐标变换，记作x=Cy，其中$C=(c_{ij})_{3\times3}$，且C可逆，$x=(x_1,x_2,x_3)^T,y=(y_1,y_2,y_3)^T$

二次型化为标准形的方法

正交变换

1. 求A的特征值，即由$|\lambda E-A|=0$，得$\lambda_1,\lambda_2,\dotsb,\lambda_n$
2. 求A的特征向量，即由$(\lambda_iE-A)x=0(i=1,2,\dotsb,n)$，得$\alpha_1,\alpha_2,\dotsb,\alpha_n$
3. 对$\alpha_1,\alpha_2,\dotsb,\alpha_n$进行施密特正交化、单位化，的$\eta_1,\eta_2,\dotsb,\eta_n$(正交化只针对重特征值对应的特征向量)
4. 令$Q=(\eta_1,\eta_2,\dotsb,\eta_n)$，则x=Qy为正交变换
5. 写出标准形$\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\dotsb+\lambda_ny_n^2$

配方法

正定二次型与正定矩阵

正定二次型的概念

设二次型$f(x_1,x_2,\dotsb,x_n)=x^TAx$(A为对称矩阵)，若对任意$x\ne0$，都有$x^TAx>0$，则称二次型正定，称A为正定矩阵

正定二次型的判别

1. 二次型$x^TAx$正定$\Leftrightarrow$A的特征值全大于0
2. 二次型$x^TAx$正定$\Leftrightarrow$A的顺序主子式全大于0
3. 设A为实对称矩阵，则A正定$\Leftrightarrow$A合同与单位矩阵E
4. 设A为实对称矩阵，则A正定$\Leftrightarrow$正惯性指数$p=n=r(A)$
5. 设A为实对称矩阵，则A正定$\Leftrightarrow$存在可逆矩阵P，使得$A=P^TP$
6. 二次型$x^TAx$正定的必要条件是$a_{ii}>0(i=1,2,\dotsb,n)$

导数与微分的概念

导数的概念

函数$f(x)$在$x_0$处可导的充分必要条件是它在该点的左导数与右导数都存在且相等

微分的概念

函数$y=f(x)$在$x_0$点处可微的充分必要条件是$f(x)$在点$x_0$处可导，且有$\mathrm{d}y=f’(x_0)\Delta x=f’(x_0)\mathrm{d}x$，在点$x$处，常记$\mathrm{d}y=f’(x)\mathrm{d}x$

导数公式及求导法则

基本初等函数的导数公式

求导法则

有理运算

设$u=u(x),v=v(x)$在x处可导，则

1. $(u\pm v)’=u’\pm v’$
2. $(uv)’=u’v+uv’$
3. $(\frac{u}{v})’=\frac{u’v-uv’}{v2}(v\ne0)$

复合函数求导

设$u=\varphi(x)$在x处可导，$y=f(u)$在对应点处可导，则复合函数$y=f[\varphi(x)]$在x处可导，且$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=f’(u)\varphi(x)$

隐函数求导

反函数求导

$\varphi’(y)=\frac{1}{f’(x)}\Leftrightarrow\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=\frac{1}{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}$
$\varphi’’(y)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[\frac{1}{f’(x)}]\cdot\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=-\frac{f’’(x)}{f’(x)^2}\cdot\frac{1}{f’(x)}$

参数方程求导

设$y=y(x)$是由参数方程$\begin{cases} x=\varphi(t)\\ y=\psi(t) \end{cases}(\alpha<t<\beta)$确定的函数，则

(1) 若$\varphi(t)和\psi(t)$都可导，且$\varphi’(t)\ne0$，则$\frac{dy}{dx}=\frac{\psi’(t)}{\varphi’(t)}$

(2) 若$\varphi(t)和\psi(t)$二阶可导，且$\varphi’(t)\ne0$，则$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dt}(\frac{\psi’(t)}{\varphi’(t)})\frac{1}{\varphi’(t)}=\frac{\psi’’(t)\varphi’(t)-\varphi’’(t)\psi’(t)}{\varphi’^3(t)}$

常用结论

设$f(x)=\varphi(x)|x-a|$，其$\varphi(x)$在$x=a$处连续，则$f(x)$在$x=a$处可导的充要条件是$\varphi(a)=0$

$f(x)$可导$\overset{\nrightarrow}{\nleftarrow}|f(x)|$可导
设$f(x)$连续
(1) 若$f(x_0)\ne0$，则在$x_0$处$f(x)$可导$\Leftrightarrow|f(x)|$可导
(2) 若$f(x_0)=0$，则$f’(x_0)=0\Leftrightarrow|f(x)|$在$x_0$处可导

高阶导数

常用的高阶导数公式

1. $(\sin x)^{(n)}=\sin(x+n\cdot\frac{\pi}{2})$
2. $(\cos x)^{(n)}=\cos(x+n\cdot\frac{\pi}{2})$
3. $(u\pm v)^{(n)}=u^{(n)}\pm v^{(n)}$
4. $(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^nC_n^ku^{(k)}v^{(n-k)}$

微分中值定理

费马引理

设函数$f(x)$在点$x_0$处可导，如果函数$f(x)$在点$x_0$处取得极值，那么$f’(x_0)=0$

罗尔定理

如果$f(x)$满足以下条件：
(1) 在闭区间[a,b]上连续
(2) 在开区间(a,b)内可导
(3) $f(a)=f(b)$
则在(a,b)内至少存在一点$\xi$，使得$f’(\xi)=0$

拉格朗日中值定理

如果$f(x)$满足以下条件：
(1) 在闭区间[a,b]上连续
(2) 在开区间(a,b)内可导
则在(a,b)内至少存在一点$\xi$，使得$f(b)-f(a)=f’(\xi)(b-a)$

如果在(a,b)内恒有$f’(x)=0$，则在(a,b)内$f(x)$为常数

柯西中值定理

如果$f(x),F(x)$满足以下条件：
(1) 在闭区间[a,b]上连续
(2) 在开区间(a,b)内可导，且$F’(x)$在(a,b)内每一点处均不为零，则在(a,b)内至少存在一点$\xi$，使得$\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f’(\xi)}{F’(\xi)}$

皮亚诺型余项泰勒公式

如果$f(x)$在点$x_0$有直至n阶的导数，则有$f(x)=f(x_0)+f’(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2!}f’’(x_0)(x-x_0)^2+\dotsb+\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n+o[(x-x_0)^n]$,常称$R_n(x)=o(x-x_0)^n$为皮亚诺余项

拉格朗日型余项泰勒公式

设函数$f(x)$在含有$x_0$的开区间(a,b)内有n+1阶导数，则当$x\in(a,b)$时有$f(x)=f(x_0)+f’(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2!}f’’(x_0)(x-x_0)^2+\dotsb+\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n+R_n(x)$

导数的应用

函数的单调性

函数的极值

极值必要条件
设$y=f(x)$在点$x_0$出可导，如果$x_0$为$f(x)$的极值点，则$f’(x_0)=0$

极值第一充分条件
设$y=f(x)$在点$x_0$的某去心邻域内可导，且$f’(x_0)=0$（或$f(x)$在$x_0$处连续）
(1) 若$x0,x>x_0$时，$f'(x)<0$，则$x_0$为$f(x)$的极大值点 (2) 若$xx_0$时，$f'(x)>0$，则$x_0$为$f(x)$的极小值点
(3) 若$f’(x)$在点$x_0$的两侧同号，则$x_0$不为$f(x)$的极值点

极值的第二充分条件
设$y=f(x)$在点$x_0$处二阶可导，且$f’(x_0)=0$
(1) 若$f’’(x_0)<0$，则$x_0$为$f(x)$的极大值点 (2) 若$f''(x_0)>0$，则$x_0$为$f(x)$的极小值点
(3) 若$f’’(x_0)=0$，则此方法不能判定$x_0$是否为极值点

函数的最大值与最小值

曲线的凹凸性

设函数$y=f(x)$在[a,b]上连续，在(a,b)内二阶可导，那么
(1) 若在(a,b)内有$f’’(x)>0$，则$f(x)$在[a,b]上的图形式凹的
(1) 若在(a,b)内有$f’’(x)<0$，则$f(x)$在[a,b]上的图形式凸的

拐点的必要条件
设$y=f(x)$在点$x_0$处二阶可导，且点$(x_0,f(x_0))$为曲线$y=f(x)$的拐点，则$f’’(x_0)=0$

拐点的第一充分条件
设$y=f(x)$在点$x_0$的某去心邻域内二阶可导，且$f’’(x_0)=0$(或$f(x)$在$x_0$处连续)
(1) 若$f’’(x)$在$x_0$的左、右两侧异号，则点$(x_0,f(x_0))$为曲线$y=f(x)$的拐点
(2) 若$f’’(x)$在$x_0$的左、右两侧同号，则点$(x_0,f(x_0))$不为曲线$y=f(x)$的拐点

拐点的第二充分条件
设$y=f(x)$在点$x_0$处三阶可导，且$f’’(x_0)=0$
(1) 若$f’’’(x_0)\ne0$，则点$(x_0,f(x_0))$为曲线$y=f(x)$的拐点
(2) 若$f’’’(x_0)=0$，则此方法不能判定$(x_0,f(x_0))$是否为曲线$y=f(x)$的拐点

曲线的渐近线

水平渐近线
若$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}f(x)=A$(或$\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f(x)=A,or\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f(x)=A$)，那么$y=A$是曲线$y=f(x)$水平渐近线

垂直渐近线
若$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=\infty$(或$\lim\limits_{x\rightarrow x_0^-}f(x)=\infty,or\lim\limits_{x\rightarrow x_0^+}f(x)=\infty$)，那么$x=x_0$是曲线$y=f(x)$的垂直渐近线

斜渐近线
若$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{f(x)}{x}=a$，且$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}(f(x)-ax)=b(orx\rightarrow-\infty,orx\rightarrow+\infty)$，那么$y=ax+b$是曲线$y=f(x)$的渐近线

曲线的弧微分与曲率

弧微分
设$y=f(x)$在(a,b)内有连续导数，则有弧微分$\mathrm{d}s=\sqrt{1+y’^2}\mathrm{d}x$

曲率
设$y=f(x)$有二阶导数，则有曲率$K=\frac{|y’’|}{(1+y’^2)^\frac{3}{2}}$

曲率圆与曲率半径

常考题型

常用不等式

$\sin x < x <\tan x,a+b < 2\sqrt{ab},\frac{x}{1+x} < \ln(1+x) < x(x>0)$

$f(\frac{x+y}{2})\le\frac{f(x)+f(y)}{2}$

微分中值定理证明

证明存在一个点$\xi\in(a,b)$，使$F[\xi,f(\xi),f’(\xi)]=0$

1. 分析法
   1. 确定辅助函数$g(x),g’(x)=F[\xi,f(\xi),f’(\xi)]$
2. 微分方程法
   1. 求微分方程$F(x,y,y’)=0$的通解$H(x,y)=C$
   2. 设辅助函数：$g(x)=H(x,f(x))$

常用辅助函数
(1) 欲证$f’(\xi)+\lambda f(\xi)=0\Rightarrow F(x)=e^{-\lambda x}f(x)$
(2) 欲证$\alpha f’(\xi)+\beta f(\xi)=0\Rightarrow F(x)=e^{\frac{\beta}{\alpha}x}f(x)(\alpha\ne0)$
(3) 欲证$f’(\xi)+g’(\xi)f(\xi)=0\Rightarrow F(x)=e^{g(x)}f(x)$
(4) 欲证$f’(\xi)+g(\xi)f(\xi)=0\Rightarrow F(x)=e^{\int g(x)\mathrm{d}x}f(x)$

证明存在两个中值点$\xi,\eta\in(a,b)$，使$F[\xi,\eta,f(\xi),f(\eta),f’(\xi),f’(\eta)=0$
(1) 不要求$\xi\ne\eta$
在同一区间[a,b]上用两次中值定理
(2) 要求$\xi\ne\eta$
将区间[a,b]分为两个子区间，在两个子区间上分别用拉格朗日中值定理

**证明存在一个中值带你$\xi\in(a,b)$，使$F[\xi,f^{(n)}(\xi)]\ge0(n\ge2)$

用拉格朗日余项的泰勒公式，其中$x_0$点选题目提供函数值和导数信息多的点

函数

反函数
同一直角坐标系中，$y=f(x)$和$x=f^{-1}(y)$的图形重合，$y=f(x)$和$y=f^{-1}(x)$的图形关于直线$y=x$对称

$f^{-1}(f(x))=x,f(f^{-1}(x))=x$

函数的性态

单调性

定义 设函数 $y=f(x)$ 在某区间I上有定义，如果对于区间I上的任意两点 $x_1,x_2$ ，当 $x_1 < x_2$ 时，恒有 $f(x_1) < f(x_2)$ (或 $f(x_1) > f(x_2)$ )，则称函数 $y=f(x)$ 在区间I上单调增加(或单调减少)
如果对于区间I上的任意两点 $x_1,x_2$ ，当 $x_1<x_2$ 时，恒有 $f(x_1)\le f(x_2)$ (或 $f(x_1)\ge f(x_2)$ )，则称函数$y=f(x)$在区间I上单调不减(或单调不增)

判定

1. 利用定义
2. 利用导数
   设f(x)在区间I上可导，则
   (1)$f’(x)>0(<0)\Leftarrow f(x)$单调增(单调减)
   (2) $f’(x)\ge0(\le0)\Leftrightarrow f(x)$单调不减（单调不整）

特征值与特征向量

特征值与特征向量的理论背景

在一个多项式中，未知数的个数为任意多个，且每一项次数都是2的多项式称为二次型，二次型分为两种类型：即非标准二次型及标准二次型。

特征值与特征向量的概念与性质

设 A 为 n 阶矩阵，若存在常数$\lambda$及 n 为非零列向量$\alpha$，使得$A\alpha=\lambda\alpha$称$\lambda$为矩阵 A 的特征值，$\alpha$为矩阵 A 的属性特征值$\lambda$的特征向量

特征方程

设$A=\begin{bmatrix}
a_{11} &a_{12} &\dotsb &a_{1n} \\
a_{21} &a_{22} &\dotsb &a_{2n} \\
\vdots &\vdots & &\vdots \\
a_{n1} &a_{n2} &\dotsb &a_{nn}
\end{bmatrix}$称$|\lambda E-A|=0$为矩阵 A 的特征方程

求特征值与特征向量

方法一：$\begin{cases}
解方程 |\lambda E-A|=0，的特征值\lambda \\
解方程组 (\lambda E-A)\alpha=0，的特征向量\alpha
\end{cases}$
方法二：利用定义$A\alpha=\lambda\alpha(a\ne0)$

特征值的性质

设 A 为 n 阶矩阵，$\lambda_1,\lambda_2,\dotsb,\lambda_n$ 为 A 的特征值，则有
(1) $\lambda_1+\lambda_2+\dotsb+\lambda_n=\sum_{i=1}^na_{ii}=tr(A)$，称$tr(A)=\sum_{i=1}^na_{ii}$为A的迹
(2) $\lambda_1\lambda_2\dotsb\lambda_n=|A|$

A 可逆$\Leftrightarrow|A|\ne0\Leftrightarrow\lambda_i\ne0(i\le i\le n)$

特征向量的性质

1. A的不同特征值对应的特征向量时线性无关的
2. 设A的n阶矩阵，$\lambda_k$为A的k重特征值$k\ge1$，则属于$\lambda_k$的线性无关的特征向量个数不超过k个
3. 设A为n阶矩阵，$A\alpha_1=\lambda_1\alpha_1,A\alpha_2=\lambda_2\alpha_2,\lambda_1\ne\lambda_2$，其中，$\alpha_1\ne0,\alpha_2\ne0$，则$\alpha_1+\alpha_2$不是A的特征向量

特征向量不能是零向量

矩阵相似

矩阵A相似于对角形

A相似于对角矩阵的条件

设A为n阶矩阵：
(1) 充分条件：A有n个不同的特征值$\Rightarrow A\sim\Lambda$
(2) 充要条件：$A\sim\Lambda\Leftrightarrow A$有n个线性无关的特征向量
(3) 充要条件：$A\sim\Lambda\Leftrightarrow A$的k重特征值对应k个线性无关的特征向量

相似的定义

设A,B为n阶矩阵，若存在可逆矩阵P,使得$P^{-1}AP=B$,称矩阵A与矩阵B相似，记为A~B.若存在可逆矩阵P,使得$P^{-1}AP=A$,其中$\Lambda$为对角矩阵，则称A可以相似对角化

相似对角化的步骤

对于$A_{n\times n}$，求可逆矩阵P，使得$P^{-1}AP=A$的步骤：
(1) 由$|\lambda E-A|=0$，求A的特征值$\lambda_1,\lambda_2,\dotsb,\lambda_n$
(2) 对每个$\lambda$，由$(\lambda E-A)x=0$，求基础解系，这些基础解系构成了A的一组特征向量
(3) 令$P=(\alpha_1,\alpha_2,\dotsb,\alpha_n)$，当p可逆时，有

称矩阵A可相似对角化，或A可以对角化，或A与对角矩阵相似

特征值与特征向量的常用结论

相似矩阵的性质

1. 设A、B均为n阶矩阵，若$A\sim B$，则：
   1. $A^T\sim B^T$
   2. $A^n\sim B^n$
   3. $f(A)\sim f(B)$，其中f为多项式
   4. 当A、B可逆时，$A^{-1}\sim B^{-1},A^\sim B^$
   5. $r(A)=r(B)$
2. $A\sim B\overset{\Rightarrow}{\nLeftarrow}|\lambda E-A|=|\lambda E-B|$

实对称矩阵

实对称定义

设A是n阶矩阵，若$A^T=A$，则称A为实对称矩阵

实对称矩阵的对角化

1. 实对称矩阵必相似于对角矩阵
2. 实对称矩阵可用正交矩阵对角化
3. 实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交
4. 实对称矩阵的特征值必为实数

实对称矩阵用正交矩阵对角化的步骤

1. 设A为n阶实对称矩阵，求A的特征值
2. 求A的特征向量
3. 若A的特征值都是单重特征值，则只需单位化。若A的特征值中存在多重特征值，则先对重特征值对应的特征向量进行施密特正交化，再单位化
4. 由正交单位化后的向量构成正交矩阵Q，则$Q^{-1}AQ=A$

施密特正交化

把一组线性无关的向量组转化为一组两两正交且规范的向量组的过程称为施密特正交化
设$a_1,a_2,\dotsb,a_s$线性相关，施密特正交互过程分为两个步骤：
(1)正交化
令$\beta_1=\alpha_1,\beta_2=\alpha_2-\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1,\dotsb,\\\beta_n=\alpha_n-\frac{(\alpha_n\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1-\frac{(\alpha_n\beta_2)}{(\beta_2,\beta_2)}\beta_2-\dotsb-\frac{(\alpha_n\beta_{n-1})}{(\beta_{n-1},\beta_{n-1})}\beta_{n-1}$,
则$\beta_1,\beta_2,\dotsb,\beta_n$两两正交
(2)规范化
令$\gamma_1=\frac{1}{|\beta_1|}\beta_1,\gamma_2=\frac{1}{|\beta_2|}\beta_2,\dotsb,\gamma_b=\frac{1}{|\beta_b|}\beta_b$，则$\gamma_1,\gamma_2,\dotsb,\gamma_n$为两两正交且规范的向量组

确定参数

确定参数的常见情形

确定参数有以下常见情形：
(1) 设$A=(a_{ij})_{m\times n},B=(b_{ij})_{m\times n},A\sim B\Rightarrow\begin{cases}
|A|=|B| \\
\sum_{i=1}^na_{ii}=\sum_{i=1}^nb_{ii}
\end{cases}$
(2) 已知$\lambda_0$是A的一个特征值$\Rightarrow|\lambda_0 -A|=0$
(3) 已知$\alpha_0$是A的一个特征向量$\Rightarrow A\alpha_0=\lambda\alpha_0$（解方程组）
(4) 对n阶矩阵A,$r(A)<n\Rightarrow|A|=0$(常用方法)
(5) $\lambda E-A|=|\lambda E-B|$，且A,B均为实对称矩阵，则$A\sim B$

矩阵相似的必要条件

向量及其运算

向量及其运算的概念

向量的定义

由n个数$a_1,a_2,\dotsb,a_n$所组成的有序数组$\alpha=(a_1,a_2,\dotsb,a_n)^T$或$\alpha=(a_1,a_2,\dotsb,a_n)$叫做n维列向量或n维行向量

向量的线性运算

设$\alpha=(a_1,a_2,\dotsb,a_n)^T,\beta=(b_1,b_2,\dotsb,b_n)^T$，则

相等 $\alpha=\beta\Leftrightarrow\alpha,\beta$同维，且对应分量$a_i=b_i,i=1,2,\dotsb,n.$

矩阵

矩阵的概念及运算

矩阵的概念

定义 $m\times n$个数排列成如下 m 行 n 列的一个表格

称为是一个 $m\times n$ 矩阵，当 m = n 时，矩阵A称为 n 阶矩阵或叫 n 阶方阵
如果一个矩阵的所有元素都是0，则称这个矩阵是零矩阵，简记为$O$

线性方程组

基本概念

我们称

是 n 个未知数 m 个方程的非齐次线性方程组，其中$x_1,x_2,\dotsb,x_n$代表 n 个未知数，而$b_1,b_2,\dotsb,b_m$是不全为0的常数

行列式的基本概念与性质

概念

行列式的定义

其中$\tau(j_1j_2..j_n)$表示排列$j_1j_2…j_n$的逆序数，即|A|是所有在不同行、不同列的n个元素乘积的代数和

偶排列：一个排列的逆序数是偶数
奇排列：一个排列的逆序数是奇数

行列式按行（列）展开公式

其中$A_{ij}$为$a_{ij}$的代数余子式，即$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$，$M_{ij}$为|A|中去掉第 i 行及 第 j 列元素后的 n - 1 阶行列式
说明：
行列式的任一行（列）元素与另一行（列）元素的代数余子式乘积之和为0，即

常微分方程

一阶微分方程的种类与解法

可降阶的高阶微分方程及解法

高阶线性微分方程理论

n阶齐次线性微分方程
形如

n阶非齐次线性微分方程
形如

若$f(x)=f_1(x)+f_2(x)$,则(2)可分解为如下两个方程：

高阶线性微分方程解的结构

1. 设$\varPhi_1(x),\varPhi_2(x),…,\varPhi_s(x)$为(1)的一组解，则$k_1\varPhi_1(x)+k_2\varPhi_2(x)+…+k_s\varPhi_s(x)$也为方程(1)的解
2. 若$\varPhi_1(x),\varPhi_2(x)$分别为(1)、(2)的两个解，则$\varPhi_1(x)+\varPhi_2(x)$为(2)的一个解
3. 若$\varPhi_1(x),\varPhi_2(x)$为(2)的两个解，则$\varPhi_1(x)-\varPhi_2(x)$为(1)的解
4. 若$\varPhi_1(x),\varPhi_2(x)$分别为(2.1)及(2.2)的两个解，则$\varPhi_1(x)+\varPhi_2(x)$为(2)的解
5. 若$\varPhi_1(x),\varPhi_2(x),…,\varPhi_s(x)$为(2)的一组解，则$k_1\varPhi_1(x)+k_2\varPhi_2(x)+…+k_s\varPhi_s(x)$为(2)的解的充分必要条件是$k_1+k_2+…+k_s=1$
6. 若$\varPhi_1(x),\varPhi_2(x),…,\varPhi_s(x)$为(2)的一组解，则$k_1\varPhi_1(x)+k_2\varPhi_2(x)+…+k_s\varPhi_s(x)$为(1)的解的充分必要条件是$k_1+k_2+…+k_s=0$
7. 设$\varPhi_1(x),\varPhi_2(x),…,\varPhi_n(x)$为(1)的n个线性无关解，则$k_1\varPhi_1(x)+k_2\varPhi_2(x)+…+k_n\varPhi_n(x)$为(1)的通解
8. 若$\varPhi_1(x),\varPhi_2(x),…,\varPhi_n(x)$为(1)的n个线性无关解，$\varPhi_0(x)$为(2)的一个特解，则$k_1\varPhi_1(x)+k_2\varPhi_2(x)+…+k_n\varPhi_n(x)+\varPhi_0(x)$为(2)的通解

二阶常系数齐次线性微分方程及解法

三阶常系数齐次线性微分方程及解法

对$y’’’+py’’+qy’+ry=0$(其中p，q，r为常数)，特征方程为

(1) 若特征值$\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$为实单根，则通解为$y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2^{\lambda_2x}+C_3e^{\lambda_3x}$
(2) 若特征值$\lambda_1=\lambda_2\not=\lambda_3$为实根，则通解为$y=(C_1+C_2x)e^{\lambda_1x}+C_3e^{\lambda_3x}$
(3) 若特征值$\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3$为实根，则通解为$y=(C_1+C_2x+C_3x^2)e^{\lambda_1x}$
(4) 若$\lambda_{1,2}=\alpha\pm i\beta,\lambda_3\in R$，则通解为$y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x))+C_3e^{\lambda_3x}$

二阶常系数非齐次线性微分方程的特解求法

类型一：$f(x)=e^{kx}P_n(x)$，其中$P_n(x)$为n次多项式

(1) 当$k\not ={\lambda_1}$且$k\not ={\lambda_2}$时，令特解$y_0(x)=(a_0+a_1x+…+a_nx^n)e^{kx}=Q(x)e^{kx}$
(2) 当$k={\lambda_1}$且$k\not ={\lambda_2}$时，令特解$y_0(x)=x(a_0+a_1x+…+a_nx^n)e^{kx}=xQ(x)e^{kx}$
(3) 当$k={\lambda_1}={\lambda_2}$时，令特解$y_0(x)=x^2(a_0+a_1x+…+a_nx^n)e^{kx}=x^2Q(x)e^{kx}$

类型二：$f(x)=e^{kx}[P_m(x)cos\beta x+P_s(x)sin\beta x]$，其中$P_m,P_s(x)$分别为m及s次多项式

(1) 当$\alpha+i\beta$不是特征值时，令$y_0=e^{ax}[Q_n^{(1)}(x)cos\beta x+Q_n^{2}(x)sin\beta x$，其中n=max{m,s}，且$Q_n^{1}(x),Q_n^{2}(x)$为两个n次多项式
(2) 当$\alpha+i\beta$是特征值时，令$y_0=xe^{ax}[Q_n^{(1)}(x)cos\beta x+Q_n^{2}(x)sin\beta x$，其中n=max{m,s}，且$Q_n^{1}(x),Q_n^{2}(x)$为两个n次多项式

学过数据结构后，只是知道链表是什么，有什么用，但真到用和实现时，却总是感觉无从下手，本文来梳理一遍链表的实现